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问题的提出
太阳视运动历来是地球运动教学中的难点。关于日出日落方位，高中只要求掌握其变化规律，而其背后蕴含数学计算。如何计算日出日落方位？本文将给出一种推导方式。
本文主要内容
①计算公式推导
②计算结果检验
③变化规律总结
未经几何学训练者慎入
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计算公式推导
首先明确2个基本量：
某地地理纬度:φ(某一地点);
太阳赤纬(直射点纬度):δ(一年中某日)。
设球半径为R,依据天球坐标系,绘制示意图如下:
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▲图1 日出日落方位计算图解|来源：自制
认识该图，主要明确3个基本平面：
地平圈：人所在地的地平面，它是水平的。
天赤道：赤道平面的无限延伸，与地平圈交于东点E与西点W，天赤道平面与地平圈平面的夹角∠SOQ即为当地地理纬度余角90°-φ，天北极P的高度即为当地地理纬度∠PON=φ。
赤纬圈：即太阳周日视运动轨迹圈，与天赤道平行，其位置取决于直射点纬度位置δ，类似于地理坐标的纬度位置，根据纬度定义（所在点与球心连线与赤道平面夹角）可知，∠AOQ=δ。
因此，日出B与日落C的位置便是太阳赤纬圈与地平圈的交点，根据方位角定义：
方位角A=以南点S为起点，向西度量，天体所在地平经圈与起点的方向和角距离，自0°-360°。
求日出日落方位，只需求∠BOE=∠COW。
①将∠COW进行转化：
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即求出∠OCD大小即可。
②在ΔOCD中：
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······Ⅰ
已知OC=R,则只需求出OD长即可。
③在ΔO'OD中,
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······Ⅱ
已知∠O'OD=φ,则只需求出OO'长即可。
④如下图2侧视图所示，在ΔO'OA中：
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▲图2 侧视图解|来源：自制
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······Ⅲ
据图可知，∠Q'OA'即为直射点纬度δ，OA=R，
代入式Ⅲ可得：
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代入式Ⅱ可得：
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代入式Ⅰ可得：
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计算结果：
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其中φ为当地地理纬度，其范围为0°-±90°，北（南）半球为正（负）；δ为直射点纬度，其范围为0°-±23°26′，直射点在北（南）半球为正（负）；方位角A以正南（S）为起点，顺时针向西度量。
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计算结果检验
对于函数y=arcsin(x),如下图所示，其定义域为[-1,1]，值域为[-90°,90°]。以下分3种情况讨论：
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▲图3 反正弦函数|来源：网络
①当δ=0°时，直射点位于赤道，二分日
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日出方位角A=270°，日出正东；
日落方位角A'=90°，日落正西；
A,A'大小与φ无关，全球各地，纬度大小相同地区，日出日落方位相同。
②当δ=23°26′时，直射点位于北回线，夏至日
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对于南北半球纬度大小相同地区而言，
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根据反正弦函数的定义域，讨论以下三种情况：
1.日出日落方位恰好为正北，即
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北纬66.57°地区，日出方位角A=180°，日出正北；日落方位角A'=180°，日落正北；该地正午太阳位于正南，出现极昼现象。
南纬66.57°地区，同样日出正北，日落正北，该地正午太阳位于正北，出现极夜现象。
2.南极圈以北至北极圈之间区域：
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南极圈以北至北极圈之间区域，
A∈(246.57°,270°),A'∈(113.43°,180°)，
日出东北，日落西北。
各地具体日出日落方位如下表1所示：
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▲表1 夏至日北半球各地日出日落方位。方位角由正南为起点向西度量。取直射点纬度23°26′≈23.43°，则极圈纬度66°34′≈66.57°|来源：自制
3.北（南）极圈以北（南）至极点之间区域：
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北极圈以北至极点之间区域，出现极昼；
南极圈以南至极点之间区域，出现极夜。
③当δ=-23°26′时，直射点位于南回线，冬至日
由反正弦函数为奇函数可知：
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1.南极圈与北极圈地区
北纬66.57°地区，日出方位角A=360°，日出正南；日落方位角A'=0°，日落正南；该地正午太阳位于正南，出现极夜现象。
南纬66.57°地区，同样日出正南，日落正南，该地正午太阳位于正北，出现极昼现象。
2.南极圈以北至北极圈之间区域，
A∈(270°,293.43°),A'∈(66.57°,90°)，
日出东南，日落西南。
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变化规律总结
当直射点位置确定时，sinδ为定值，利用导数进行量化计算，过程如下：
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即函数y在(-90°,0°)上单调递减，在(0°,90°)上单调递增。
代入日出方位角A公式可知，当sinδ>0，太阳直射点位于天赤道以北，A在(-90°,0°)递增，即越接近赤道日出越接近正东。
规律总结 ：
①纬度大小相同地区，日出日落方位相同。
②太阳直射点位于天赤道以北时，全球各地（除极昼极夜地区）日出东北，日落西北，纬度越高，方位越偏北。
③太阳直射点位于天赤道以南时，全球各地（除极昼极夜地区）日出东南，日落西南，纬度越高，方位越偏南。
④纬度越高，增加相同纬度，方位角偏转越大。
以下为演示视频图片
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